Основные понятия теории вероятностей

Множество случайных событий, которые могут произойти в результате проведения испытания, как правило, содержит достаточно большое число событий. Возникает проблема сравнения случайных событий с точки зрения того, наступление какого из них следует скорее ожидать.

Аксиоматический подход к понятию вероятности случайного события

Рассмотрим пространство элементарных событий случайного эксперимента и соответствующее множество случайных событий. Функция P, которая каждому случайному событию А ставит в соответствие действительное число Р(А), называется функцией вероятности, а ее значение Р(А) – вероятностью случайного события А, если

• Р(А) ≥ 0 для всех А; (1.1)

• Р(Ω) = 1; (1.2)

• Р(В+С) = Р(В) + Р(С), если ВС = Ø . (1.3)

Свойства (1.1) – (1.3) называются аксиомами вероятности, а приведенное определение – аксиоматическим определением вероятности А. Н. Колмогорова (1903 – 1987).

Аксиоматический подход к понятию вероятности случайного события не дает конкретного правила, согласно которому случайному событию может быть приписана его вероятность. Этот труд берут на себя другие подходы.

Выполнение аксиом вероятности служит критерием того, что соответствующий подход действительно вводит понятие вероятности.

Классическое определение вероятности

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 

.

 

Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением: 
, 
где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.